2012年新课标 I 卷理科数学第21题:
已知函数满足
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(1) 求的解析式及单调区间;
(2) 若
,求的最大值.
分析与解(1) 根据题意,函数的导函数分别令和,可得
.进而其导函数于是函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2) 根据题意,有取函数的斜率为的切线,设切点为,则切线方程为其中.易知等号当且仅当时取得.因此.由于,于是记右侧函数为,则其导函数于是当
时,取得极大值,亦为最大值.于是的最大值为,此时,
.
思考与总结从图形的角度看待题中的不等式,将含有两个变元的式子转化为只含一个变元的式子.
下面给出一道练习:
练习已知,且.若在的定义域内恒有,求的最大值.
答案
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提示时不等式显然不会恒成立,只考虑,此时有
等号当且仅当
时取到,从而得到,有右边的式子的最大值为